Линейная алгебра Примеры

$A = [\begin{array}{c} x & 3 & x^{2} \\ - 3 & 5 x & 0 \\ 4 & x^{3} & 1 \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- x^{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$x (5 x + 0 x^{3}) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $0$ на $x^{3}$ .

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 2.2.2

Добавим $5 x$ и $0$ .

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 3.2.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))$

Этап 4.2

Умножим $5$ на $- 4$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3}) + x^{2} (- 20 x)$

Этап 5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 20 x)$

Этап 5.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} - 20 x^{2} x$

Этап 5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 (x^{3} x^{2}) - 20 x^{2} x$

Этап 5.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{3 + 2} - 20 x^{2} x$

Этап 5.7.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{2} x$

Этап 5.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x \cdot x^{2})$

Этап 5.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x^{1} x^{2})$

Этап 5.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{1 + 2}$

Этап 5.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{3}$